Самостоятельная работа по Геометрии. Площадь прямоугольного треугольника, вписанного в круг, ровно в 2π раз меньше площади этого круга. Найдите величину наименьшего угла треугольника.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов, то есть S = (1/2) a b, где a и b - длины катетов.

Площадь круга равна π * r^2, где r - радиус круга.

По условию задачи, площадь треугольника равна 2π раза меньше площади круга, то есть (1/2) a b = (2π) π r^2.

Учитывая, что треугольник прямоугольный, можно использовать теорему Пифагора: a^2 + b^2 = c^2, где c - гипотенуза треугольника.

Таким образом, у нас есть система уравнений: (1/2) a b = (2π) π r^2, a^2 + b^2 = c^2.

Выразим a и b из первого уравнения: a = (4π) r^2 / b, b = (4π) r^2 / a.

Подставим эти значения во второе уравнение: (4π) * r^2 / b^2 + b^2 = c^2.

Упростим это уравнение: (4π) r^2 + b^4 = c^2 b^2.

Так как треугольник прямоугольный, то c^2 = a^2 + b^2, поэтому: (4π) r^2 + b^4 = (a^2 + b^2) b^2.

Раскроем скобки: (4π) r^2 + b^4 = a^2 b^2 + b^4.

Упростим это уравнение: (4π) r^2 = a^2 b^2.

Так как a = (4π) r^2 / b, то: (4π) r^2 = ((4π) * r^2 / b)^2.

Упростим это уравнение: (4π) r^2 = (16π^2 r^4) / b^2.

Умножим обе части уравнения на b^2: (4π) r^2 b^2 = 16π^2 * r^4.

Сократим на 4π: r^2 b^2 = 4π r^4.

Разделим обе части уравнения на r^2: b^2 = 4π * r^2.

Возведем обе части уравнения в квадрат: b^4 = (4π * r^2)^2.

Подставим это значение в предыдущее уравнение: (4π) r^2 + (4π r^2)^2 = a^2 * b^2.

Упростим это уравнение: (4π) r^2 + 16π^2 r^4 = a^2 (4π r^2).

Сократим на 4π r^2: 1 + 4π r^2 = a^2.

Таким образом, мы получили выражение для a^2: a^2 = 1 + 4π * r^2.

Теперь найдем величину наименьшего угла треугольника. Для этого воспользуемся тригонометрическими функциями.

Пусть α - наименьший угол треугольника. Тогда sin(α) = a / c, где c - гипотенуза треугольника.

Выразим a из уравнения a^2 = 1 + 4π r^2: a = √(1 + 4π r^2).

Тогда sin(α) = √(1 + 4π * r^2) / c.

Так как треугольник прямоугольный, то sin(α) = b / c.

Подставим это значение в уравнение: b / c = √(1 + 4π * r^2) / c.

Сократим на c: b = √(1 + 4π * r^2).

Таким образом, мы получили выражение для b.

Теперь найдем sin(α): sin(α) = b / c = √(1 + 4π * r^2) / c.

Так как sin(α) = a / c, то: a / c = √(1 + 4π * r^2) / c.

Сократим на c: a = √(1 + 4π * r^2).

Таким образом, мы получили выражение для a.

Теперь найдем tg(α): tg(α) = sin(α) / cos(α) = (a / c) / (b / c) = a / b = √(1 + 4π r^2) / √(1 + 4π r^2) = 1.

Таким образом, tg(α) = 1.

Из этого следует, что α = 45°.

Таким образом, наименьший угол треугольника равен 45°.