Помогите с произведением векторов. Дано: |a| = 3, |b| = |c| = 2. Векторы a и
Помогите с произведением векторов. Дано: |a| = 3, |b| = |c| = 2. Векторы a и b ортогональны, а вектор c образует с ними углы, равные π/3. Вычислить (2a – b) · (с – b)
Для начала найдем векторы a, b и c.
Так как |a| = 3, то a = 3 * (cos α, sin α), где α - угол между вектором a и положительным направлением оси x.
Так как |b| = |c| = 2, то b = 2 (cos β, sin β) и c = 2 (cos γ, sin γ), где β и γ - углы между векторами b и c соответственно и положительным направлением оси x.
Так как векторы a и b ортогональны, то их скалярное произведение равно 0:
a · b = 3 2 (cos α, sin α) · (cos β, sin β) = 0.
Раскроем скалярное произведение:
6 (cos α cos β + sin α * sin β) = 0.
Так как cos α cos β + sin α sin β = cos(α - β), то получаем:
6 * cos(α - β) = 0.
Так как cos(α - β) = 0, то α - β = π/2 или α - β = 3π/2.
Так как угол между векторами a и b равен π/2, то α - β = π/2.
Так как α - β = π/2, то α = β + π/2.
Так как угол между векторами b и c равен π/3, то β - γ = π/3.
Так как α = β + π/2 и β - γ = π/3, то α - γ = π/2 + π/3 = 5π/6.
Таким образом, векторы a, b и c имеют следующие координаты:
a = 3 (cos α, sin α) = 3 (cos(5π/6), sin(5π/6)) = 3 * (-√3/2, 1/2) = (-3√3/2, 3/2).
b = 2 (cos β, sin β) = 2 (cos(α - π/2), sin(α - π/2)) = 2 (cos(5π/6 - π/2), sin(5π/6 - π/2)) = 2 (cos(-π/3), sin(-π/3)) = 2 * (1/2, -√3/2) = (1, -√3).
c = 2 (cos γ, sin γ) = 2 (cos(α - π/2 - π/3), sin(α - π/2 - π/3)) = 2 (cos(5π/6 - π/2 - π/3), sin(5π/6 - π/2 - π/3)) = 2 (cos(-π/6), sin(-π/6)) = 2 * (√3/2, -1/2) = (√3, -1).
Теперь вычислим (2a - b) · (c - b):
(2a - b) · (c - b) = (2 * (-3√3/2, 3/2) - (1, -√3)) · (√3, -1).
Раскроем скобки и вычислим скалярное произведение:
(2 * (-3√3/2, 3/2) - (1, -√3)) · (√3, -1) = (-3√3, 3) - (1, -√3) · (√3, -1) = (-3√3, 3) - (√3 - √3, -√3 + 1) = (-3√3, 3) - (0, 1) = (-3√3, 2).
Таким образом, (2a - b) · (c - b) = -3√3.