Помогите найти N(ε) в мат.анализе. a=-1/2 ; an=(n+1)/(1-2n) ;
Помогите найти N(ε) в мат.анализе. a=-1/2 ; an=(n+1)/(1-2n) ; ε=0,01
Для нахождения N(ε) в данной задаче, мы должны найти такое натуральное число N, что для всех n > N выполняется неравенство |an - a| < ε.
Для начала, найдем значение an:
an = (n+1)/(1-2n)
Теперь найдем разность |an - a|:
|an - a| = |(n+1)/(1-2n) - (-1/2)|
|an - a| = |(n+1)/(1-2n) + 1/2|
|an - a| = |(n+1)/(1-2n) + (1-2n)/(2(1-2n))|
|an - a| = |(n+1 + 1-2n)/(2(1-2n))|
|an - a| = |(2)/(2(1-2n))|
|an - a| = |1/(1-2n)|
Теперь мы можем записать неравенство:
|1/(1-2n)| < ε
Так как ε = 0,01, мы можем записать:
|1/(1-2n)| < 0,01
Теперь найдем N(ε), то есть такое натуральное число N, что для всех n > N выполняется неравенство |1/(1-2n)| < 0,01.
Для этого, мы можем рассмотреть два случая:
- Когда 1-2n > 0:
В этом случае, мы можем упростить неравенство:
1/(1-2n) < 0,01
1 < 0,01(1-2n)
1 < 0,01 - 0,02n
0,02n < 0,01 - 1
0,02n < -0,99
n < -0,99/0,02
n < -49,5
Так как n - натуральное число, то n <= -49
Таким образом, для всех n > -49 выполняется неравенство |1/(1-2n)| < 0,01.
Значит, в этом случае N(ε) = -49.
- Когда 1-2n < 0:
В этом случае, мы можем упростить неравенство:
1/(2n-1) < 0,01
1 < 0,01(2n-1)
1 < 0,02n - 0,01
0,02n > 1 + 0,01
0,02n > 1,01
n > 1,01/0,02
n > 50,5
Так как n - натуральное число, то n >= 51
Таким образом, для всех n > 51 выполняется неравенство |1/(1-2n)| < 0,01.
Значит, в этом случае N(ε) = 51.
Таким образом, мы получили два значения N(ε): -49 и 51.