Исследовать функцию на монотонность:. (x^2-x-1)/(x^2-2*x)

Для исследования функции на монотонность, нужно найти ее производную и проанализировать знаки производной.

Найдем производную функции f(x) = (x^2-x-1)/(x^2-2*x):

f'(x) = ((x^2-2x)(2x-1) - (x^2-x-1)(2-2x)) / (x^2-2x)^2

Упростим выражение:

f'(x) = (2x^3 - 3x^2 + 2x - 1 - 2x^3 + 3x^2 - 2x - 2 + 2x^2 - 2x^3 + 3x^2 - 2x - 1) / (x^2-2*x)^2

f'(x) = (-4) / (x^2-2*x)^2

Теперь проанализируем знаки производной:

1. Знаменатель (x^2-2*x)^2 всегда положителен, так как это квадрат. Значит, знак производной зависит только от числителя (-4).
2. Числитель (-4) всегда отрицателен.

Таким образом, производная f'(x) всегда отрицательна.

Из этого следует, что функция f(x) убывает на всей области определения, то есть она монотонно убывает.