Задача по геометрии . На двух сторонах треугольника во внешнюю от него сторону построили квадраты. Докажите, что центры этих квадратов равноудалены от середины третьей стороны треугольника.(Пожалуйста решите с четким доказательством)

Пусть треугольник ABC имеет стороны AB, BC и AC, а квадраты построены на сторонах AB и BC. Обозначим центры этих квадратов как M и N соответственно.

Для начала, заметим, что сторона квадрата, построенного на стороне AB, равна стороне квадрата, построенного на стороне BC. Обозначим эту сторону как s.

Также заметим, что сторона квадрата, построенного на стороне AB, параллельна стороне BC, и сторона квадрата, построенного на стороне BC, параллельна стороне AB. Поэтому, сторона квадрата, построенного на стороне AB, параллельна стороне AC, и сторона квадрата, построенного на стороне BC, параллельна стороне AC.

Теперь рассмотрим треугольник AMN. Поскольку AM и BN - это стороны квадратов, они равны s. Также, поскольку сторона квадрата, построенного на стороне AB, параллельна стороне AC, угол MAN прямой. Аналогично, угол MBN также прямой.

Таким образом, треугольник AMN - это прямоугольный треугольник с гипотенузой MN и катетами AM и BN. По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

MN^2 = AM^2 + BN^2

Но поскольку AM = BN = s (сторона квадрата), мы можем записать:

MN^2 = s^2 + s^2 = 2s^2

Теперь рассмотрим треугольник ABC. Обозначим середину стороны AC как P. Поскольку P - это середина стороны AC, AP = PC. Также, поскольку сторона квадрата, построенного на стороне AB, параллельна стороне AC, угол BAP прямой. Аналогично, угол BCP также прямой.

Таким образом, треугольник BPC - это прямоугольный треугольник с гипотенузой BC и катетами BP и PC. По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

BC^2 = BP^2 + PC^2

Но поскольку BP = PC = s (сторона квадрата), мы можем записать:

BC^2 = s^2 + s^2 = 2s^2

Таким образом, мы видим, что MN^2 = BC^2. Это означает, что центры квадратов M и N равноудалены от середины третьей стороны треугольника.