Помогите найти N(ε) в мат.анализе. a=-1/2 ; an=(n+1)/(1-2n) ; ε=0,01

Для нахождения N(ε) в данной задаче, мы должны найти такое натуральное число N, что для всех n > N выполняется неравенство |an - a| < ε.

Для начала, найдем значение an:

an = (n+1)/(1-2n)

Теперь найдем разность |an - a|:

|an - a| = |(n+1)/(1-2n) - (-1/2)|

|an - a| = |(n+1)/(1-2n) + 1/2|

|an - a| = |(n+1)/(1-2n) + (1-2n)/(2(1-2n))|

|an - a| = |(n+1 + 1-2n)/(2(1-2n))|

|an - a| = |(2)/(2(1-2n))|

|an - a| = |1/(1-2n)|

Теперь мы можем записать неравенство:

|1/(1-2n)| < ε

Так как ε = 0,01, мы можем записать:

|1/(1-2n)| < 0,01

Теперь найдем N(ε), то есть такое натуральное число N, что для всех n > N выполняется неравенство |1/(1-2n)| < 0,01.

Для этого, мы можем рассмотреть два случая:

1. Когда 1-2n > 0:

   В этом случае, мы можем упростить неравенство:

   1/(1-2n) < 0,01

   1 < 0,01(1-2n)

   1 < 0,01 - 0,02n

   0,02n < 0,01 - 1

   0,02n < -0,99

   n < -0,99/0,02

   n < -49,5

   Так как n - натуральное число, то n <= -49

   Таким образом, для всех n > -49 выполняется неравенство |1/(1-2n)| < 0,01.

   Значит, в этом случае N(ε) = -49.

2. Когда 1-2n < 0:

   В этом случае, мы можем упростить неравенство:

   1/(2n-1) < 0,01

   1 < 0,01(2n-1)

   1 < 0,02n - 0,01

   0,02n > 1 + 0,01

   0,02n > 1,01

   n > 1,01/0,02

   n > 50,5

   Так как n - натуральное число, то n >= 51

   Таким образом, для всех n > 51 выполняется неравенство |1/(1-2n)| < 0,01.

   Значит, в этом случае N(ε) = 51.

Таким образом, мы получили два значения N(ε): -49 и 51.