Помогите с задачей по геометрии . В тетраэдре SMKT с основанием
14.03.2022
Дата публикации:

Помогите с задачей по геометрии . В тетраэдре SMKT с основанием

9380d1a7

Помогите с задачей по геометрии . В тетраэдре SMKT с основанием MKT известно, что ∠MST=54°, ∠MSK=36° и ∠TSK=92°. Укажи наибольшее ребро основания.

Для решения задачи воспользуемся теоремой косинусов для треугольника.

Обозначим длины ребер основания как MK = a, KT = b и TM = c. Также обозначим углы при вершинах M, K и T как ∠MKT = α, ∠KTM = β и ∠TMK = γ.

Из условия задачи известны следующие значения углов: ∠MST = 54°, ∠MSK = 36° и ∠TSK = 92°.

Так как сумма углов треугольника равна 180°, то из угла ∠TSK = 92° следует, что ∠KTM = 180° - 92° = 88°.

Теперь применим теорему косинусов для треугольника TSK: cos(92°) = (b^2 + c^2 - a^2) / (2bc)

Также применим теорему косинусов для треугольника TSM: cos(54°) = (c^2 + a^2 - b^2) / (2ca)

Используя теорему косинусов для треугольника TSK, выразим a^2 через b и c: a^2 = b^2 + c^2 - 2bc * cos(92°)

Подставим это выражение для a^2 в уравнение для треугольника TSM: cos(54°) = (c^2 + (b^2 + c^2 - 2bc cos(92°)) - b^2) / (2c √((b^2 + c^2 - 2bc cos(92°)) c^2))

Упростим это уравнение: cos(54°) = (2c^2 - 2bc cos(92°)) / (2c √((b^2 + c^2 - 2bc cos(92°)) c^2)) cos(54°) = (c - b cos(92°)) / √((b^2 + c^2 - 2bc cos(92°)) * c^2)

Теперь решим это уравнение относительно b. Возведем обе части уравнения в квадрат: cos^2(54°) = (c - b cos(92°))^2 / ((b^2 + c^2 - 2bc cos(92°)) * c^2)

Упростим это уравнение: cos^2(54°) ((b^2 + c^2 - 2bc cos(92°)) c^2) = (c - b cos(92°))^2

Раскроем скобки: cos^2(54°) (b^2c^2 + c^4 - 2bc^3 cos(92°)) = c^2 - 2bc cos(92°) + b^2 cos^2(92°)

Упростим это уравнение: cos^2(54°) b^2c^2 + cos^2(54°) c^4 - 2cos^2(54°) bc^3 cos(92°) = c^2 - 2bc cos(92°) + b^2 cos^2(92°)

Перенесем все члены уравнения в одну сторону: cos^2(54°) b^2c^2 + cos^2(54°) c^4 - 2cos^2(54°) bc^3 cos(92°) - c^2 + 2bc cos(92°) - b^2 cos^2(92°) = 0

Теперь это уравнение является квадратным относительно b. Решим его, используя дискриминант: D = (2bc cos(92°))^2 - 4 (cos^2(54°) c^4 - 2cos^2(54°) bc^3 cos(92°) - c^2 + 2bc cos(92°) - b^2 * cos^2(92°))

D = 4b^2c^2 cos^2(92°) - 4 (cos^2(54°) c^4 - 2cos^2(54°) bc^3 cos(92°) - c^2 + 2bc cos(92°) - b^2 * cos^2(92°))

D = 4b^2c^2 cos^2(92°) - 4cos^2(54°) c^4 + 8cos^2(54°) bc^3 cos(92°) + 4c^2 - 8bc cos(92°) + 4b^2 cos^2(92°)

Так как мы ищем наибольшее ребро основания, то b должно быть максимальным. Для этого нужно найти максимальное значение D.

Для нахождения максимального значения D возьмем производную D по b и приравняем ее к нулю: dD/db = 8bc^3 cos^2(92°) - 16cos^2(54°) bc^2 cos(92°) - 8c cos(92°) + 8b * cos^2(92°) = 0

Разделим это уравнение на 8b: bc^3 cos^2(92°) - 2cos^2(54°) bc^2 cos(92°) - c cos(92°) + b * cos^2(92°) = 0

Теперь решим это уравнение относительно b. Возьмем b за общий множитель: b (c^3 cos^2(92°) - 2cos^2(54°) bc cos(92°